Викторина

Можно. Это будет вогнутый многогранник, который будет переворачиваться с граней на рёбра.

Нужно, чтобы "на любую грань", а вогнутый вообще-то нельзя положить на некоторые грани.

Добавлено через 42 минуты
Если многогранник положить на ребро (или на вершину), то такое равновесие не будет устойчивым (т.к. центр тяжести будет выше опоры) и многогранник упадет на одну из граней. Если при этом проекция центра тяжести окажется в пределах области стола (или куда там кладется многогранник), на которой лежит эта самая грань, то многогранник, положенный на эту грань, не упадет. Такая грань найдется всегда (многогранник будет "падать" до тех пор, пока не "найдет" такую грань), так что ответ нет.

P.S. Разумеется, если многогранник выпуклый, но вроде по постановке вопроса видно, что выпуклый. Иначе "на любую грань" его положить в принципе нельзя.

Добавлено через 12 минут

если плоскость реально ровная, то сила тяжести+сила трения - и шар никуда катится не будет.

Вот шар-то как раз очень хорошо катиться будет. Кроме тех случаев, когда его центр тяжести лежит на диаметре, перпендикулярном крышке стола.