1) Как сделать так, чтобы в подземелье была не сплошная чернота, а чтобы были видны Tiles. А то непонятно, как я провел дорогу. Только объекты видны.

В настройках карты нужно временно установить освещение в подземелье как на поверхности. Сохранить и нажать на кнопку перезагрузки карты.

Как переименовать здание и отключить его корневую функцию?

Отключить стандартную функцию объекта можно с помощью SetObjectEnabled
Редактировать текстовые значения объекта можно в опции Shared

Как сделать так, чтобы в самом начале игры на карте сразу появилось сообщение? И вообще, как сделать, чтобы приходя на определенное место, высвечивалось сообщение?

MessageBox - сообщение с кнопкой "ок"
ShowFlyingSign - отлетающее сообщение
REGION_ENTER_AND_STOP_TRIGGER и REGION_ENTER_WITHOUT_STOP_TRIGGER - заход героя на определённое место на карте

Как сделать так, чтобы допустим ты подходишь к монстру, он тебе что то говорит и присоединяется к тебе, но без уведомления об этом?

Сообщение при взаимодействии с объектом. Убрать объект с карты. Добавить объект в армию героя.

Как сделать чтобы вражеский герой появился на карте не сразу, а через определенное количество дней?

NEW_DAY_TRIGGER - триггер нового дня и добавить объект на карту.

==========
Более подробно в темах на форуме, в картах создателей.
И несколько полезных файлов для картостроителя:
1. Необходимая документация по скриптам.
2. Скрипты libhomm3 - простые типовые скрипты наподобие как в третьих героях (с моей доработкой базы касательно морали и удачи на один бой).
3. Редактор скриптов, которым ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно пользоваться.

P.S. И ещё: перед тем, как начнёте баловаться со скриптами и изменением объектов, создайте пустую тестовую карту и там работайте. Приготовьтесь к долгим часам тестирования)